Veli Kujala aloitti harmonikan soiton 8-vuotiaana; vv. 1983-96 hän opiskeli Alahärmän musiikkikoulussa, Lapuan musiikkiopistossa ja Oulun konservatoriossa.

Sibelius-Akatemia tuli vuoroon 1996; opettajina Matti Rantanen ja Marjut Tynkkynen. Sävellystä Kujalalle opetti Harri Wessman.

Harmonikansoiton A-tutkinto keväällä 2002; musiikin maisterin paperit Kujala sai keväällä 2004.

Ensikonsertti huhtikuussa 2006.

Elokuussa 2004 Veli Kujala aloitti Sibelius-Akatemian DocMus-yksikössä lisensiaatin tutkintoon tähtäävät toimet, aiheena uusi suomalainen harmonikkamusiikki.

Veli Kujala on palkittu useissa kansainvälisissä kilpailuissa; merkittävin lienee 4. sija maailman suurimmassa nykymusiikkikilpailussa (Gaudeamus Interpreters Competition) kaikille instrumenteille sekä kansainvälisen Lasse Pihlajamaa-kilpailun voitto 2001.
Säveltäjänä Veli Kujala on palkittu mm. Espoon Pianoviikon sävellyskilpailussa 2007, jolloin hänelle myönnettiin 1. palkinto. 2. palkinto sekä yleisöpalkinto tulivat urkusävellyskilpailussa "Catedral del Buen Pastor de Donostian-San Sebastian" v. 2007.

Veli Kujala on esiintynyt useiden eri yhtyeiden solistina sekä soittaa säännöllisesti Pipoka ja Gourmet-yhtyeissä. Hän on kantaesittänyt mm. Kalevi Ahon ja Uljas Pulkkisin teoksia.

Jenny ja Antti Wihurin rahasto on tukenut häntä useilla apurahoilla, samoin Valtion Säveltaidetoimikunta ja Suomen Kulttuurirahasto.

Vuodesta 2005 Veli Kujala on toiminut harmonikansoiton opettajana Sibelius-Akatemiassa.